Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 quận Long Biên

 - Người đăng bài viết: Đoàn Ngọc Anh  - Chuyên mục :  Đã xem: 2065 

Thcs.daytot.vn giới thiệu Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2014 2015 quận Long Biên, Hà Nội có đáp án cho các em tham khảo và ôn tập hiệu quả.

 

 

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO       
QUẬN LONG BIÊN

       

 

KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ 
MÔN  HỌC EM YÊU THÍCH CẤP QUẬN
Môn: TOÁN
Năm học 2014-2015
Ngày thi: 27/05/2014
Thời gian làm bài: 90 phút

 

 Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: 2014 - |2x - 1| = 2013

c) Tìm giá trị của x để A < 0.

d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên.

Bài 2 (3 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3(x2 - 7 )2 - 36x

b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A = n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n.

Bài 3 (3 điểm)

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày và đi với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và góc EAD = góc ECB

b) Cho góc BMC = 1200 và SAED = 36 cm2. Tính SECB?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.

d) Kẻ DH ⊥ BC (H∈ BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ ⊥ PD.

Bài 5: (3 điểm).

a) Chứng minh rằng số n2 +2014 với n nguyên dương không là số chính phương.

b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5.

Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ 1 + ab

 

Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8

 

Bài 1 (5 điểm) 

a) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2.

Rút gọn được A = (x - 1)/3

b) Từ 2014 - |2x - 1| = 2013

Tìm được x = 1; x = 0 (loại x = 0 do không thỏa mãn ĐK)

Thay x = 1 vào biểu thức. Tính được A = 0.

c) A< 0 suy luận được x<1 và : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 . 

d) Lập luận để khẳng định được x-1 là bội của 3 suy ra , x = 3n+1 (n ∈ Z)

Bài 2 (3 điểm)

a) Phân tích được x3(x2 - 7)2 – 36x = x(x + 1 )( x - 1 )(x - 3)(x + 2)(x - 2)( x + 3)

b) Theo phần a ta có :

A = n3(n2 - 7)2 - 36n = n(n + 1)(n - 1) (n - 3)(n + 2)(n - 2)(n + 3)

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp. Trong 7 số nguyên liên tiếp có:

- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.

- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.

- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.

- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.

Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A chia hết cho (2, 3, 5, 7)

Hay A chia hết cho 210.

Bài 3 (3 điểm)

Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x > 0

=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)

Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)

=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)

Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)

Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)

Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:

50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x

<=> x = 5/6 (h) = 50 phút (TMĐK)

Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy.

Bài 4 (6 điểm) 

Hình vẽ:

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8

 

a) * Chứng minh EA.EB = ED.EC

- Chứng minh Δ EBD đồng dạng với Δ ECA (gg)

- Từ đó suy ra EB/EC = ED/EA → EA.EB = ED.EC

* Chứng minh góc EAD = góc ECB

- Chứng minh Δ EAD đồng dạng với Δ ECB (cgc)

- Suy ra góc EAD = góc ECB

b) - Từ góc BMC = 120o → góc AMB = 60o → góc ABM = 30o

- Xét Δ EDB vuông tại D có góc B = 30o

→ ED = 1/2 EB

- Lý luận cho SEAD/SECB = (ED/EB)2 từ đó SECB = 144 cm2

c) - Chứng minh BMI đồng dạng với Δ BCD (gg)

- Chứng minh CM.CA = CI.BC

- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 

d) - Chứng minh Δ BHD đồng dạng với Δ DHC (gg)

→ BH/DH = BD/DC → 2BP/2DQ = BD/DC → BP/DQ = BD/DC

- Chứng minh Δ DPB đồng dạng với Δ CQD (cgc)

→ góc BDP = góc DCQ mà góc BDP + góc PDC = 900 → CQ ⊥ PD

Bài 5 (3 điểm)

a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014

→ (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương 

b) Với 2 số a, b dương:

Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1

↔ (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)

↔a3 + b3 ≤ a + b

↔ (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)

↔ a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6

↔ 2a3b3 ≤ ab5 + a5b

↔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0

↔ ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5


 
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  Ẩn/Hiện ý kiến

Mã chống spam   

Những tin mới hơn

 

Những tin cũ hơn

Tin nhiều người quan tâm
Thăm dò ý kiến

Bạn muốn tổ chức thi thử vào lớp 10 khi nào?

Top