thuật ngữ đường trung bình

 - Người đăng bài viết: Nguyễn Thu Hoài  - Chuyên mục :  Đã xem: 62 

Trình bày về định nghĩa và các định lí cũng như là chứng minh các định lí về đường trung bình tam giác và đường trung bình của hình thang.

 

1. Định nghĩa

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh tam giác; một tam giác có ba đường trung bình. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.

- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang và có độ dài bằng một nửa tổng hai đáy.

2. Định lí đường trung bình

a) Trong tam giác

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Đề bài minh họa: Cho tam giác ABC, điểm D là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng: AE = EC.

đtbtg

Chứng minh: Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F. 

Hình thang DEFB có hai cạnh bên song song ( DB // EF ) nên DB = EF.

Theo giả thiết AD = DB. Do đó AD = EF.

Xét hai tam giác ADE và EFC có:

            \widehat{A}=\widehat{E} ( đồng vị, EF // AB )

           AD = EF ( chứng minh trên )

          \widehat{ D1}=\widehat{F1}  ( cùng bằng \widehat{B} ).

Do đó \Delta ADE=\Delta EFC ( g.c.g), suy ra AE = EC.

Vậy E là trung điểm của AC. Định lí được chứng minh.

Định lí 2. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Đề bài minh họa: Cho tam giác ABC, D và E lần lượt là trng điểm của AB và AC. Chứng minh rằng DE // BC và DE=\frac{1}{2}BC

đtbtg2

.

Chứng minh. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF.

\Delta AED=\Delta CEF (c.g.c)

suy ra AD = CF và \widehat{A}=\widehat{C_{1}}.

ta có AD = DB ( giả thiết) và AD = CF nên DB = CF.

Ta có \widehat{A}=\widehat{C_{1}}, hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // CF, tức là DB // CF, do đó DBCF là hình thang.

Hình thang DBCF có hai đáy DB, CF bằng nhau nên hai cạnh bên DF, BC song song và bằng nhau.

Do đó DE // BC, DE=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}BC. Định lí được chứng minh.

b) Trong hình thang

Định lí 1. Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Đề bài minh họa: Cho hình thang ABCD, đáy AB, CD. Gọi E là trung điểm của AD. Qua E kẻ EF // CD, cắt BC tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm của BC.

đtbht1

 

Chứng minh: Gọi I là giao điểm của AC và EF.

Tam giác ADC có E là trung điểm của AD ( giả thiết) và EI // CD ( giả thiết ) nên I là trung điểm của AC.

Tam giác ABC có I là trung điểm của AC ( chứng minh trên) và IF // AB ( giả thiết ) nên F là trung điểm của BC.

Định lí được chứng minh.

Định lí 2. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Đề bài minh họa: Cho hình thanh ABCD, hai đáy AB, CD. EF là đường trung bình của hình thang. Chứng minh rằng: EF // AB, EF // CD và EF= \frac{AB+CD}{2}.

đtbht2

 

Chứng minh: Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AF và DC.

\Delta FBA=\Delta FCK có:

   \widehat{F_{1}}=\widehat{F_{2}} ( đối đỉnh)

   BF = FC ( giả thiết )

   \widehat{B}=\widehat{C_{1}} ( so le trong, AB // DK ).

Do đó \Delta FBA=\Delta FCK (g.c.g), suy ra AF = FK và AB = CK.

E là trung điểm của AD, F là trung điểm của AK nên È là đường trung bình của \Delta ADK, suy ra EF // DK ( tức là EF // CD và EF // AB ) và EF=\frac{1}{2}DK.

Mặt khác DK = DC + CK = DC + AB. Do đó:

          EF=\frac{DC+AB}{2}

Định lí được chứng minh.

xem thêm: Thuật ngữ hình thoi

Thuật ngữ hình bình hành

 


 
Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

  Ẩn/Hiện ý kiến

Mã chống spam   

Những tin mới hơn

 

Những tin cũ hơn

Top